2013-2014学年上海贝尔阿尔卡特宁蒗希望中学九年级（上）期末数学试卷（解析版） 19页

2013-2014学年上海贝尔阿尔卡特宁蒗希望中学九年级（上）期末数学试卷　一、填空题（每空3分，共30分.）1．（3分）（2007•福州）当x　_________　时，二次根式在实数范围内有意义．　2．（3分）（2012•江津区模拟）方程4x2=3（4x﹣3）的根的情况是　_________　．　3．（3分）化简：=　_________　．　4．（3分）计算结果为　_________　．　5．（3分）某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打　_________　折出售此商品．　6．（3分）（2013•常州）已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=　_________　．　7．（3分）（2012•江津区模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，OD∥BC，若BC=8，则OD=　_________　．　8．（3分）（2008•茂名）如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是　_________　度．　9．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点P是△ABC内一点．△APC沿逆时针方向旋转后与△AP′B重合，则旋转中心是　_________　，最小旋转角等于　_________　度．　 10．（3分）如图，Rt△ABC的边AB在直线L上，AC=1，AB=2，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕点B在平面内按顺时针方向旋转，使BC边落在直线L上，得到△A1BC1；再将△A1BC1绕点C1在平面内按顺时针方向旋转，使边A1C1落在直线L上，得到△A2B1C1，则点A所经过的两条弧AA1，A1A2的长度之和为　_________　．　二、选择题（每题3分，共24分）11．（3分）下列计算中，正确的是（　　）　A．B．C．D．　12．（3分）（2008•湛江）下面的图形中，是中心对称图形的是（　　）　A．B．C．D．　13．（3分）△ABC中，点D在边AB上，点E在AC上，AB=6，AD=2，AC=9，若△ABC与△ADE相似，则AE的值等于（　　）　A．3B．C．，3D．，3　14．（3分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2008的值为（　　）　A．2007B．2008C．2009D．2010　15．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）　A．相交B．相切C．相离D．无法确定　17．（3分）（2008•梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（　　）　A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对　18．（3分）（2007•南平）如图，把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转180°后，重叠部分的面积为（　　） 　A．B．C．D．　19．（3分）（2012•广州模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（　　）　A．30B．36C．54D．72　三、解答题（共10小题，计96分）20．（5分）﹣+﹣20080﹣　21．（6分）（2008•岳阳）先化简，再求值，其中a=1+，b=1﹣．　22．（8分）（2000•内蒙古）某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）　23．（10分）有时可以看到这样的转盘游戏：如图，你只要出1元钱就可以随意地转动转盘，转盘停止时指针落在哪个区域，你就按照这个区域所示的数字相应地顺时针跳过几格，然后按照下图所示的说明确定你的奖金是多少．例如，当指针指向“2”区域的时候，你就向前跳过两个格到“5”，按奖金说明，“5”所示的奖金为0.2元，你就可得0.2元．请问这个游戏公平吗？能否用你所学的知识揭示其中的秘密？　24．（10分）（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．　25．（10分）（2005•中原区）顾客李某于今年“五•一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题 营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的．顾客李某：我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？营业员：有，请看《购买A品牌系列空调的优惠办法》．购买A品牌系列空调的优惠办法：方案一：各种型号的空调每台价格优惠5%，送货上门，负责安装，每台空调另加运输费和安装费共90元．方案二：各种型号的空调每台价格优惠2%，送货上门，负责安装，免运输费和安装费．根据以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：（1）求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？（2）请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？　26．（10分）（2011•宁夏）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．　27．（10分）梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：（1）EF⊥BC；（2）BF•BC=BE•AE．　28．（12分）（2008•大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 　29．（12分）在直角坐标系XOY中，二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．　 2013-2014学年上海贝尔阿尔卡特宁蒗希望中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题（每空3分，共30分.）1．（3分）（2007•福州）当x　≥3　时，二次根式在实数范围内有意义．考点：二次根式有意义的条件．4704506分析：因为式为二次根式，所以被开方数大于或等于0，列不等式求解．解答：解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：x﹣3≥0，解得：x≥3．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．　2．（3分）（2012•江津区模拟）方程4x2=3（4x﹣3）的根的情况是　两个相等的实数根　．考点：根的判别式．4704506分析：整理方程后，根据一元二次方程的根的判别式与0的关系，就可以确定根的情况．解答：解：整理得4x2﹣12x+9=0，∴△=b2﹣4ac=144﹣144=0，∴方程有两个相等的实数根．故填：有两个相等的实数根．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．　3．（3分）化简：=　1　．考点：分式的混合运算．4704506专题：计算题．分析：先把分子分母分解因式约分化简，再加减．解答：解：===1．故答案为1．点评：此题运算顺序：先除后加，用到了分解因式、约分、通分等知识点．　 4．（3分）计算结果为　　．考点：二次根式的乘除法．4704506分析：直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．解答：解：===．故答案为：．点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确把握运算公式是解题关键．　5．（3分）某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打　7　折出售此商品．考点：一元一次不等式的应用．4704506分析：根据题意列出不等式求解即可．不等式为750x﹣500≥500×5%．解答：解：设售货员可以打x折出售此商品，则得到750•﹣500≥500×5%，解得x≥7．即最低可以打7折．点评：本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．　6．（3分）（2013•常州）已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=　﹣2或1　．考点：一元二次方程的解．4704506分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．解答：解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0解得a=﹣2或1点评：本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．　7．（3分）（2012•江津区模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，OD∥BC，若BC=8，则OD=　4　．考点：圆周角定理；三角形中位线定理．4704506分析：已知了OD∥BC，而O是AB的中点，因此OD是△ABC的中位线，已知了BC的长，由此可求出OD的长．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，即O是AB的中点；又∵OD∥BC，D是AC的中点；∴OD是△ABC的中位线； ∴OD=BC=4．点评：本题主要考查了三角形中位线定理的应用．　8．（3分）（2008•茂名）如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是　25　度．考点：圆周角定理．4704506分析：先求出∠ACB的度数，圆周角∠ACB等于圆心角∠AOB的一半，再根据平行，得到内错角∠OAC=∠ACB．解答：解：∵AO∥BC，∴∠OAC=∠ACB．又∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的角，∴∠ACB=∠AOB=25°，∴∠OAC的度数是25°．点评：本题利用了圆周角定理和两直线平行内错角相等求解．　9．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点P是△ABC内一点．△APC沿逆时针方向旋转后与△AP′B重合，则旋转中心是　A　，最小旋转角等于　300　度．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．4704506分析：关键是分清旋转中心，旋转方向，根据图形的特征求旋转角．解答：解：根据旋转的性质可知，△APC沿逆时针方向旋转后与△AP′B重合，则旋转中心是A，最小旋转角等于360°﹣60°=300°．填：A；300．点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．　10．（3分）如图，Rt△ABC的边AB在直线L上，AC=1，AB=2，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕点B在平面内按顺时针方向旋转，使BC边落在直线L上，得到△A1BC1；再将△A1BC1绕点C1在平面内按顺时针方向旋转，使边A1C1落在直线L上，得到△A2B1C1，则点A所经过的两条弧AA1，A1A2的长度之和为　　． 考点：弧长的计算；旋转的性质．4704506专题：计算题．分析：根据弧长公式可得．解答：解：=π．点评：本题的关键是弄清各段弧长的半径和圆心角．　二、选择题（每题3分，共24分）11．（3分）下列计算中，正确的是（　　）　A．B．C．D．考点：二次根式的加减法．4704506分析：根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．解答：解：A，B、因为它们不是同类二次根式，不能直接相加，故错误；C、是同类二次根式，可以直接相减，正确；D、=，故错误．故选C．点评：本题主要考查了根式的加减法．　12．（3分）（2008•湛江）下面的图形中，是中心对称图形的是（　　）　A．B．C．D．考点：中心对称图形．4704506专题：压轴题．分析：根据中心对称的概念和各图特点解答．解答：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、B、C不符合；是中心对称图形的只有D．故选D．点评：对中心对称与轴对称的概念区别是解决本题的关键．　13．（3分）△ABC中，点D在边AB上，点E在AC上，AB=6，AD=2，AC=9，若△ABC与△ADE相似，则AE的值等于（　　）　A．3B．C．，3D．，3考点：相似三角形的性质．4704506分析：由△ABC中，点D在边AB上，点E在AC上，AB=6，AD=2，AC=9，若△ABC与△ADE相似，可分别从若△ABC∽△ADE与若△ABC∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．解答：解：∵△ABC与△ADE相似，且∠A是公共角，∴若△ABC∽△ADE，则，即， 解得：AE=3；若△ABC∽△AED，则，即，解得：AE=．∴AE=3或．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握方程思想与分类讨论思想的应用．　14．（3分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2008的值为（　　）　A．2007B．2008C．2009D．2010考点：一元二次方程的解．4704506分析：把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把m2+m=1代入式子：m3+2m2+2008，再将式子变形为m（m2+m）+m2+2008的形式，即可求出式子的值．解答：解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2008=m（m2+m）+m2+2008=m+m2+2008=1+2008=2009．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．　15．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）　A．相交B．相切C．相离D．无法确定考点：直线与圆的位置关系．4704506专题：计算题．分析：根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相离．解答：解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与O的位置关系是相交．故选A．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．　17．（3分）（2008•梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（　　）　A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对考点：垂径定理；菱形的判定．4704506专题：压轴题．分析：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解． 解答：解：由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．点评：本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．　18．（3分）（2007•南平）如图，把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转180°后，重叠部分的面积为（　　）　A．B．C．D．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．4704506专题：压轴题．分析：根据等边三角形的特殊性，重叠部分为正六边形，四周空白部分的小三角形是等边三角形，从而得出重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差．解答：解：根据旋转的意义，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为1，面积是△ABC的．仔细观察图形，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，△ABC的面积是，一个小等边三角形的面积是，所以重叠部分的面积是．故选B．点评：本题考查了图形的旋转变化，三角形面积的求法，难度不大，但容易错．　19．（3分）（2012•广州模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（　　）　A．30B．36C．54D．72考点：平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理的逆定理．4704506专题：压轴题；转化思想．分析：求▱ABCD的面积，就需求出BC边上的高，可过D作DE∥AM，交BC的延长线于E，那么四边形ADEM也是平行四边形，则AM=DE；在△BDE中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE是直角三角形；可过D作DF⊥BC于F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF的长，也就求出了BC边上的高，由此可求出四边形ABCD的面积．解答：解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==， ∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．点评：此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．　三、解答题（共10小题，计96分）20．（5分）﹣+﹣20080﹣考点：二次根式的性质与化简；实数的性质；零指数幂；负整数指数幂．4704506专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2﹣+3﹣﹣1﹣2+=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．　21．（6分）（2008•岳阳）先化简，再求值，其中a=1+，b=1﹣．考点：分式的化简求值．4704506专题：计算题．分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．解答：解：原式==；当a=1+，b=1﹣时，原式=．点评：本题考查了分式的混合运算，因式分解、通分、约分是关键．　22．（8分）（2000•内蒙古）某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）考点：一元二次方程的应用．4704506专题：增长率问题．分析：因为商厦今年一月份销售额为60万元，二月份销售额下降10%，即60（1﹣10%）万元，后来月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，所以可设三、四月份平均每月增长的百分率是x，则四月份的销售额是60（1﹣10%）（1+x）2，即可列出方程，解之即可求出答案．解答：解：设三、四月份平均每月增长的百分率为x，则：60（1﹣10%）（1+x）2=96，故x≈0.333或﹣2.333（不合题意，舍去）答：三、四月份平均每月增长的百分率是33.3%．点评： 此题结合商厦的经营管理与销售额的增减问题，考查了根据实际问题列简单的一元二次方程，解题时要注意以下问题：（1）下降与上升的起点不同：销售额下降10%是以二月份的销售额为基础；月销售额大幅度上升，是以三月份的销售额为基础；（2）由于是求三、四月份平均每月增长的百分率，所以可以用平均增长率的数学模型列方程解答．　23．（10分）有时可以看到这样的转盘游戏：如图，你只要出1元钱就可以随意地转动转盘，转盘停止时指针落在哪个区域，你就按照这个区域所示的数字相应地顺时针跳过几格，然后按照下图所示的说明确定你的奖金是多少．例如，当指针指向“2”区域的时候，你就向前跳过两个格到“5”，按奖金说明，“5”所示的奖金为0.2元，你就可得0.2元．请问这个游戏公平吗？能否用你所学的知识揭示其中的秘密？考点：游戏公平性．4704506分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．解答：解：这个游戏不公平，我们可以用列举法求每种情况的概率．指针指向的数字最后跳到的数字132531435561因为转盘是6等分的，因此指针指向每个数字的机会均等，但最后跳到的数字只有1、3、5．因此，本问题中，最终得到“1”“3”“5”奖的概率各为，而最终得到“2”“4”“6”奖的概率全部为0．“1”“3”“5”奖都是低于1的低额奖金，“4”“6”奖金额数高，但根本无法得到，因此这是一个骗局．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　24．（10分）（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．考点：垂径定理的应用；勾股定理．4704506专题：应用题．分析：如图所示，根据垂径定理得到BD=AB=×16=8cm ，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．解答：解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．∵OE⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，ED=4cm设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2∴（x﹣4）2+82=x2解得x=10．即这个圆形截面的半径为10cm．点评：本题主要考查：垂径定理、勾股定理．　25．（10分）（2005•中原区）顾客李某于今年“五•一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的．顾客李某：我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？营业员：有，请看《购买A品牌系列空调的优惠办法》．购买A品牌系列空调的优惠办法：方案一：各种型号的空调每台价格优惠5%，送货上门，负责安装，每台空调另加运输费和安装费共90元．方案二：各种型号的空调每台价格优惠2%，送货上门，负责安装，免运输费和安装费．根据以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：（1）求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？（2）请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？ 考点：一元二次方程的应用．4704506专题：增长率问题；优选方案问题．分析：（1）设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据增长率的一般公式即可列出方程解决问题；（2）若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，然后分别用x表示两种方法的函数关系式，接着分情况讨论，不同情况的方法收费，比较大小即可得到结论．解答：解：（1）设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据题意，得a（1﹣x）2=a（1﹣19%），解得x1=1.9（不合题意，舍去），x2=0.1=10%．（2）若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，按照优惠方案一每台需支付y1元，按照优惠方案二每台需支付y2元，则y1=0.95x+90，y2=0.98x，当y1＞y2时，x＜3000（元），此时应选方案二；当y1=y2时，x=3000（元），此时选两种方案都一样；当y1＜y2时，x＞3000（元），此时应选方案一．答：（1）A品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；（2）当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台＜3000元时，应选方案二；当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台3000元时，两种方案都可以选；当A品牌系列空调的某一型号的价格为每台＞3000元时，应选方案一．点评：本题是用对话形式给出的数量关系，是方程和函数的综合题．可以根据题目的问题，寻找相关的数量．列出两种优惠方案的函数关系式，抓住购买多少，两种优惠方案一样，这个分界线，分三种情况加以说明．　26．（10分）（2011•宁夏）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．考点：切线的判定．4704506专题：综合题．分析：（1）连接OP，要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90°即可；（2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长．解答：（1）证明：连接AP，OP，∵AB=AC，∴∠C=∠B，又∵OP=OB，∠OPB=∠B，∴∠C=∠OPB，∴OP∥AD；又∵PD⊥AC于D，∴∠ADP=90°，∴∠DPO=90°，∵以AB为直径的⊙O交BC于点P， ∴PD是⊙O的切线．（2）解：连接AP，∵AB是直径，∴∠APB=90°；∵AB=AC=2，∠CAB=120°，∴∠BAP=60°，∴BP=，∴BC=2．点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．　27．（10分）梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：（1）EF⊥BC；（2）BF•BC=BE•AE．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．4704506专题：证明题．分析：（1）根据已知利用切线的性质可得到∠BEF+∠B=90°，即EF⊥BC；（2）利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例和AD=BC，即可得到BF•BC=BE•AE．解答：证明：（1）连接OE，∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，∴∠DEF=∠OEA．∵OA=OE，AD=BC，∴∠OEA=∠A=∠B．∴∠A=∠B=∠DEF．∵∠DEF+∠BEF=90°，∴∠BEF+∠B=90°．∴EF⊥BC；（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，∴△ADE∽△BEF．∴． ∵AD=BC，∴．∴BF•BC=BE•AE．点评：此题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识及其运用能力．　28．（12分）（2008•大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．4704506专题：计算题；压轴题．分析：（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．解答：解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△AMN和△AQN中， ∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．点评：本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．　29．（12分）在直角坐标系XOY中，二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．4704506专题：开放型．分析：（1）已知顶点，就已知对称轴，又AB=6，可求A、B两点坐标了，可设抛物线交点式求解；（2）根据点的坐标先研究△ABC的特殊性，AC=BC，∠A=∠B=30°，故△ABQ也是等腰三角形，AB为腰，且∠A=30°或者∠B=30°，通过解直角三角形可求Q点坐标，再判断Q点是否在抛物线上．解答：解：（1）∵顶点坐标为C（4，﹣），且与x轴的两个交点间的距离为6，∴对称轴x=4，A（1，0），B（7，0），设抛物线解析式y=a（x﹣1）（x﹣7），将C点坐标代入可得a=，∴所求解析式为y=x2﹣x+；（2）在x轴上方的抛物线上存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，因为△ABC为等腰三角形，∴当AB=BQ， ∵AB=6，∴BQ=6，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=∴∠BAC=∠ABC=30°，∴∠ACB=120°，∴∠ABQ=120°，过点Q作QE⊥x轴于E，则∠QBE=60°，∴QE=BQsin60°=6×=3，∴BE=3，∴E（10，0），．当x=10时，y=×102﹣×10+=3；∴点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，还存在一点，使△ABQ′∽△CAB故存在点或．点评：本题考查了点的坐标及抛物线解析式的求法，在抛物线上寻找三角形相似的条件的方法．