2012-7-20-华南理工大学-线性代数故事会 58页

线性代数故事会—数学建模融入课程的探索广东工业大学郝志峰2012年7月20日 国家“十一五”规划教材高等教育百门精品教材线性代数、学习指导与典型例题 线性代数（英文版） 线性代数（教育部新世纪网络课程建设工程） 一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、常用的“模型” 在城市中，不时听到人们抱怨塞车，这也成为不少城市的“一景”。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释，另一方面也给基础解系一个生动的刻划。一、基础解系—繁忙的交通右图是2010年3月2日，元宵节后上班第一天，广州BRT(BusRapidTransit，中文名“不让通”)工程实施后的照片。 验出北京交通的脆弱与不堪一击。此后，在严峻的拥堵形势下，关于缓解交通拥堵的话题在多个场合被提起。一、基础解系—繁忙的交通2010年9月17日，一场小雨引发超级大堵车。当天北京市区晚高峰拥堵路段峰值超140条，已经打破了年初因为大雪造成90余条拥堵路段峰值的纪录。这场由小雨引发的超级大堵车，检 一、基础解系—繁忙的交通 一、基础解系—繁忙的交通例：设一个“井”字形环路，均为单向行驶，在八个出入口有一个记录口（或收费站），可记录单位时间进出500400550650500600450350该路段的车辆数目，已知八个出入口在某一个时间段的数目如右图。 问路段上的车辆数目？解:根据“入出”的准测，四个“十字”路口节点的方程为:(1)(4)(3)(2)节点一、基础解系—繁忙的交通 上述线性方程组的解为一、基础解系—繁忙的交通 问题:(1)基础解系在该问题中代表了什么？请您利用该结果对交通管理部门提出若干有用的建议.一、基础解系—繁忙的交通 思考题：图中是某一地区的公路交通网络图，所有的道路都是单行道，且道上不能停车，通行方向用箭头表示，标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数。（修订版，2008，p.13，例10）200300200100200300300ABCDE试从交通流量平衡条件建立起线性代数方程组，并对解作出符合实际意义的解释。一、基础解系—繁忙的交通 一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、常用的“模型” 线性相关（修订版，2008，p.131末）：二、线性方程组(1)—化学方程式已知化学反应方程式：该方程式共有两种原子，故可用2维向量表示： 线性相关：二、线性方程组(1)—化学方程式即：与方程式对应，有向量关系式：注意：向量组线性相关的意义这些组分间可能发生化学反应。但：真实发生还需要所谓的“反应条件” 确定，使两边原子数相等称为配平，方程为二、线性方程组(1)—化学方程式—配平写成矩阵方程 已知一个化学反应系统内有七种组分：并且已知这些组分中部分物质的量（kmol），注意到这些分子总共涉及三种原子，根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，于是有原子矩阵（修订版，2009，p.22、例3）二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组 根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，当考虑经过一定时间的变化，如何确定系统内的各组分含量时（修订版，2008，p.114、例7），有上述两式一减，注意，非齐次转化为齐次。二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组 在本例中，的秩为，则基础解系有个（需要由化学方法预先测定）齐次方程的解。二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组 若齐次方程组，故通解中有四个任意常数，若测出则可算得：二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组注意（通解、特解），则可由得到的转化量确定系统内各组分的含量 在本例中，的秩为，则基础解系有个（需要由化学方法预先测定）齐次方程的解。二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组 二、线性方程组(2)—剑桥食谱麦当劳是垃圾食品吗？ 世卫组织对垃圾食品的定义是：仅仅提供一些热量，别无其它营养素的食物，或是提供超过人体需要，变成多余成分的食品。二、线性方程组(2)—剑桥食谱你进了麦当劳，同样价格的汉堡，你选双层吉士汉堡包，还是麦辣鸡腿汉堡？双层吉士汉堡包里吉士能提供你半天的热量，生的生菜保留了原有的维生素C，烘焙的面包既富含维生素B，又是粗粮能帮助消化，你怎么不选？可你为什么就一定会选麦辣鸡腿汉堡呐？油炸的东西产生亚硝酸盐类物质，不易消化，这个你也知道的吧？ 双层吉士汉堡包满足剑桥食谱？二、线性方程组(2)—剑桥食谱 上世纪80年代很流行，剑桥大学Howard博士（InternationalJournalofObesety,1978,2,321-332），修订版，2008，p.47，例16：为使食品具有希望数量和比例的营养，在食谱中加入了多种食物，每种食物能提供需要的成分，但关键是正确的比例。例如：脱脂牛奶是蛋白质的主要来源，但含了过多的钙，于是可以考虑用大豆粉来提供蛋白，它只含有少量的钙，但又含了过多的脂肪，于是又加上乳清，因它含的脂肪比较少，但乳清所含的碳水化合物又多了，……。该如何取舍？二、线性方程组(2)—剑桥食谱 一个食谱的简单例子：三种食物及其每包可食物所含的营养素的数量如下：脱脂牛奶食物(百克)营养素(克)大豆粉乳清剑桥食谱每天供应量（克）蛋白质碳水化合物脂肪365113334535239740711二、线性方程组(2)—剑桥食谱 设脱脂牛奶的用量为个单位（100g），大豆面粉的用量为个单位，乳清的用量为个单位，表中的三个营养成分列向量为：使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到二、线性方程组(2)—剑桥食谱 注意：选取非负解，可以多考虑几个方程组，从而出现无限多解。剑桥食谱：给出了33种食物提供所需的31种营养素。二、线性方程组(2)—剑桥食谱 二、线性方程组(3)—平板稳态温度的计算俄罗斯著名代数学家柯斯特利金的优秀教材《代数学引论》第二卷：线性代数已知平板的四周温度（可测，求平板上任一点的温度），与气象预测、地形测量对比 整理为二、线性方程组(3)—平板稳态温度的计算注意：推广到网格，大规模稀疏矩阵的 一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、常用的“模型” 书号的编制（2007年1月1日后）：以新的书：修订版，2008为例，有ISBN978-7－04－024900－2国际标准书号中国出版社社内码校验位若分别赋予权重,即.978－7－04－024900－2并求和：9+21+8+21+12+6+4+27+2＝1101131313131331图书注意：(mod10)三、线性变换(1)—书号的编制 书号的编制（2007年1月1日前）：以《线性代数》（第二版）为例，有ISBN7－04－011882－3国际标准书号中文出版社社内码校验位若分别赋予权重,即.7－04－011882－3并求和：70+32+6+5+32+24+4+3＝17610987654321三、线性变换(1)—书号的编制 注意：(mod11)事实上，这对任何一本正式出版的书都是对的，问题：(1)这两种编码方式的线性变换观点?校验位.(2)请您发现一本不编码体系中最末一位是“X”的书。(3)国际标准期刊号《华南理工大学学报（自然科学版）》ISSN1000—565X(4)这个方法如何推广到一般的情形?代数方法——线性变换。三、线性变换(1)—书号的编制 传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发出一个“进攻”的信息，他要求该命令必须准确无误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证不出错，真是急得一身汗。正在此时，传令兵突然急中生智，他毫不犹豫地站在传令台上，向前挥舞“进攻”的命令一百次，然后下来。结果当然是信息发了出去，而且接受方也知道了“进攻”。因为接受方虽不能保证一百次看到的都是“进攻”，但可以几乎以概率为1的把握确定是“进攻”。因为一百次样本还是较大的，接受方理解为“进攻”的可能性很大。三、线性变换(2)—密码—古代将军的命令 现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假设发出的信息为a，则传令兵发出的信息是：当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到传令兵所处的环境，当然也就不会追究了。但现在的研究人员却需要考虑这一点，比如书号的模型就是一例。三、线性变换(2)—密码—古代将军的命令 低维→高维:现代加密,解密的基本方法.人造卫星的信号.明文:发:即(注:1低维→高维,2线性变换)收:若:三、线性变换(2)—密码—现代通信 则存在奇数个错,且一个错的可能性很大,这是因为若一个错的概率为，则出三个错的出错概率为出五个错的出错概率为若：则不能完全判断，若出错，至少有偶数个错，其概率至少为故在民用电报中，上述方法是一个简便的方法。三、线性变换(2)—密码—现代通信 字母ABCDEFGHIJKLM表值12345678910111213字母NOPQRSTUVWXYZ表值14151617181920212223242526三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密修订版，2008，p.57例19，利用可逆矩阵法修订版，2008，p.218例4，利用线性变换例：发：ACTION，编码为1、3、20、9、15、14 则乘以可编成“密码”：三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密收到信息：67、44、43、81、52、43后，可用恢复明码。 如何破译：关键是求得加密矩阵的逆—解密矩阵例如：只要分析出两个（n个）明文向量（线性无关）与相应的密文向量。三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密如果： 一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、常用的“模型” 四、常用的“模型”—外套、袜子矩阵乘积的逆矩阵（修订版，2008，p.39、图2-5）矩阵乘积的伴随矩阵 四、常用的“模型”—解析几何与代数坐标变换与线性变换正交矩阵（旋转变换、反射变换） 四、常用的“模型”—经济学投入产出分析（修订版，2008，p.62，2.6）商品的价格和总价（修订版，2008，p.22，例2；修订版，2008，p.26，例5）线性方程组在费用分摊、联合收入中的应用（修订版，2008，p.9-13，例1、2）线性变换将普及、平装、精装的书的数量与原材料纸、布的数量的转换（修订版，2008，p.217，例3） 四、常用的“模型”—矩阵作对角化一阶常系数常微分方程组与Malthus模型即考虑如何化为（修订版，2009，p.175、6.2.2.3） 四、常用的“模型”—正定矩阵n元函数的最优化（修订版，2008，p.208、6.4.2*）当时，是函数的极大（极小）值点由二次型负定（正定）来确定 四、常用的“模型”—行列式平面曲线的待定系数法（修订版，2008，p.93、例14，抛物线） 四、常用的“模型”—行列式—面积三角形的面积：修订版，2008，p.96、习题3-2两个向量、张成的平行四边形面积的一半 三大中值定理的归一：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理基础：Fermat点（临界点、驻点）在碗中掷毂子，最终落在何处，为什麽？四、行列式—面积的应用—中值定理 罗尔中值定理闭连开导、、则有：四、行列式—面积的应用—中值定理 构造辅助函数：设　　、　　、闭连开导，构造函数　　如下：则　　满足罗尔中值定理的条件，故有四、行列式—面积的应用—中值定理 令　　　　、　　　，则有拉格朗日中值定理：即四、行列式—面积的应用—中值定理 注意到，辅助函数：这里，　　表示点　　　　，　　　，的三角形面积。求得的　恰是　　使得达到极大值的点的值。四、行列式—面积的应用—中值定理 令　　　　，则有柯西中值定理：即四、行列式—面积的应用—中值定理 实际上，辅助函数：这里，　　表示点　　　　　　，，　　　　　　的三角形面积（请发挥你的想象）。求得的　同样恰是　　使得达到极大值的点　的值。四、行列式—面积的应用—中值定理 谢谢各位专家和代表广东工业大学郝志峰Email：zfhao@gdut.edu.cn